ENRU 17 groups using the Magic Theorem17 групп по магической теореме Part of a private hub of your symmetry work, listed in your Gyroscope Hub (private)Часть закрытого хаба вашей работы о симметрии, указанного в вашем Gyroscope Hub (закрытый) Conway's Magic Theorem gives every feature of an orbifold symbol a price, and the 17 symbols that spend exactly 2 are the 17 wallpaper groups. Beside each bar is the orbifold itself, the surface the plane folds up into: drag it to turn it, tap it to open it larger. Each group's name opens its page in the clockwork/colouring correspondence.Магическая теорема Конвея назначает цену каждой детали символа орбифолда, и ровно 2 тратят 17 символов: это 17 групп орнаментов. Рядом с каждой полосой — сам орбифолд, поверхность, в которую сворачивается плоскость: потяните, чтобы повернуть, нажмите, чтобы открыть крупнее. Название группы ведёт на её страницу в соответствии clockwork/colouring. All seventeen spend exactly 2: Conway's price listВсе семнадцать тратят ровно 2: прейскурант Конвея Hover a row, or tap its number, to list its generators. Rotations:Наведите на строку или нажмите на её число, чтобы увидеть образующие. Повороты: 180°180° 120°120° 90°90° 60°60° mirrorзеркало glideскользящее отражение translationперенос CostЦенаgenerators neededнужно образующихorbifoldорбифолд012 op1↗ 2 torusторa handle: the whole surface is one torusручка: вся поверхность — один тор 2 handle = 22 ручка = 2 translation along a cell edgeперенос вдоль стороны ячейки translation along the other edgeперенос вдоль другой стороны 2222p2↗ 1/21/21/21/2 3 pillowcaseнаволочкаa rectangle doubled: four 180° cone pointsудвоенный прямоугольник: четыре конические точки по 180° 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 = 21/2 центр вращения 2 + 1/2 центр вращения 2 + 1/2 центр вращения 2 + 1/2 центр вращения 2 = 2 180° rotation at a cell cornerповорот на 180° вокруг вершины ячейки 180° rotation halfway along one edge from itповорот на 180° вокруг середины стороны из неё 180° rotation halfway along the other edgeповорот на 180° вокруг середины другой стороны **pm↗ 3 annulusкольцоa cylinder whose two rims are mirrorsцилиндр, оба края которого — зеркала 1 mirror + 1 mirror = 21 зеркало + 1 зеркало = 2 mirrorзеркало mirror next to itзеркало, соседнее с ним translation along them, the shortestперенос вдоль них, кратчайший ××pg↗ 2 Klein bottleбутылка Клейнаtwo cross-caps; in space it passes through itselfдве плёнки Мёбиуса; в пространстве проходит сквозь себя 1 cross-cap + 1 cross-cap = 21 плёнка Мёбиуса + 1 плёнка Мёбиуса = 2 glide, the shortest on its lineскользящее отражение, кратчайшее на своей оси glide, the shortest on the next parallel lineскользящее отражение, кратчайшее на соседней параллельной оси *×cm↗ 2 Möbius bandлента Мёбиусаits one edge is a mirrorеё единственный край — зеркало 1 mirror + 1 cross-cap = 21 зеркало + 1 плёнка Мёбиуса = 2 mirrorзеркало glide, the shortest on the next parallel lineскользящее отражение, кратчайшее на соседней параллельной оси *2222pmm↗ 1/41/41/41/4 4 rectangleпрямоугольникmirror edges, four 90° cornersзеркальные края, четыре угла по 90° 1 mirror + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 = 21 зеркало + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 = 2 mirror on the rectangle's left sideзеркало на левой стороне прямоугольника mirror on its right sideзеркало на правой стороне mirror on its top sideзеркало на верхней стороне mirror on its bottom sideзеркало на нижней стороне 22*pmg↗ 1/21/2 3 half a pillowcaseполовина наволочкиa pouch whose mouth is a mirror; two 180° cone pointsмешочек с зеркальным устьем; две конические точки по 180° 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1 mirror = 21/2 центр вращения 2 + 1/2 центр вращения 2 + 1 зеркало = 2 mirrorзеркало 180° rotation at a 2-fold centre nearest itповорот на 180° вокруг ближайшего к нему центра 2-го порядка 180° rotation at the next centre parallel to itповорот на 180° вокруг следующего центра параллельно ему 22×pgg↗ 1/21/2 2 cross-capскрещённый колпакa projective plane with two 180° cone points; it passes through itselfпроективная плоскость с двумя коническими точками по 180°; проходит сквозь себя 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1 cross-cap = 21/2 центр вращения 2 + 1/2 центр вращения 2 + 1 плёнка Мёбиуса = 2 glide, the shortest on its lineскользящее отражение, кратчайшее на своей оси glide, the shortest on a perpendicular lineскользящее отражение, кратчайшее на перпендикулярной оси 2*22cmm↗ 1/21/41/4 3 half a square pillowполовина квадратной подушкиcut corner to corner: a mirror mouth with two 90° corners, one 180° cone pointразрезана по диагонали: зеркальное устье с двумя углами по 90°, коническая точка 180° 1/2 cone point 2 + 1 mirror + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 = 21/2 центр вращения 2 + 1 зеркало + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 = 2 mirrorзеркало mirror crossing itзеркало, пересекающее его 180° rotation at a nearest 2-fold centre off the mirrorsповорот на 180° вокруг ближайшего центра 2-го порядка вне зеркал 442p4↗ 3/43/41/2 2 triangular pillowтреугольная подушкаa 45-45-90 triangle doubled: cone points 90°, 90°, 180°удвоенный треугольник 45-45-90: конические точки 90°, 90°, 180° 3/4 cone point 4 + 3/4 cone point 4 + 1/2 cone point 2 = 23/4 центр вращения 4 + 3/4 центр вращения 4 + 1/2 центр вращения 2 = 2 90° rotation at a 4-fold centreповорот на 90° вокруг центра 4-го порядка 180° rotation at a nearest 2-fold centreповорот на 180° вокруг ближайшего центра 2-го порядка *442p4m↗ 3/83/81/4 3 45-45-90 triangleтреугольник 45-45-90mirror edges, corners 45°, 45°, 90°зеркальные края, углы 45°, 45°, 90° 1 mirror + 3/8 corner 4 + 3/8 corner 4 + 1/4 corner 2 = 21 зеркало + 3/8 угол 4 + 3/8 угол 4 + 1/4 угол 2 = 2 mirror on one leg of the triangleзеркало на одном катете треугольника mirror on the other legзеркало на другом катете mirror on the hypotenuseзеркало на гипотенузе 4*2p4g↗ 3/41/4 2 half the 442 pillowполовина подушки 442a mirror mouth with one 90° corner; one 90° cone pointзеркальное устье с одним углом 90°; коническая точка 90° 3/4 cone point 4 + 1 mirror + 1/4 corner 2 = 23/4 центр вращения 4 + 1 зеркало + 1/4 угол 2 = 2 90° rotation at a 4-fold centreповорот на 90° вокруг центра 4-го порядка mirror nearest itзеркало, ближайшее к нему 333p3↗ 2/32/32/3 2 triangular pillowтреугольная подушкаan equilateral triangle doubled: three 120° cone pointsудвоенный равносторонний треугольник: три конические точки по 120° 2/3 cone point 3 + 2/3 cone point 3 + 2/3 cone point 3 = 22/3 центр вращения 3 + 2/3 центр вращения 3 + 2/3 центр вращения 3 = 2 120° rotation at a 3-fold centreповорот на 120° вокруг центра 3-го порядка 120° rotation at a neighbouring 3-fold centreповорот на 120° вокруг соседнего центра 3-го порядка *333p3m1↗ 1/31/31/3 3 equilateral triangleравносторонний треугольникmirror edges, three 60° cornersзеркальные края, три угла по 60° 1 mirror + 1/3 corner 3 + 1/3 corner 3 + 1/3 corner 3 = 21 зеркало + 1/3 угол 3 + 1/3 угол 3 + 1/3 угол 3 = 2 mirror on one side of the triangleзеркало на одной стороне треугольника mirror on the second sideзеркало на второй стороне mirror on the third sideзеркало на третьей стороне 3*3p31m↗ 2/31/3 2 half the 333 pillowполовина подушки 333a mirror mouth with one 60° corner; one 120° cone pointзеркальное устье с одним углом 60°; коническая точка 120° 2/3 cone point 3 + 1 mirror + 1/3 corner 3 = 22/3 центр вращения 3 + 1 зеркало + 1/3 угол 3 = 2 120° rotation at a centre off the mirrorsповорот на 120° вокруг центра вне зеркал mirror nearest itзеркало, ближайшее к нему 632p6↗ 5/62/31/2 2 triangular pillowтреугольная подушкаa 30-60-90 triangle doubled: cone points 60°, 120°, 180°удвоенный треугольник 30-60-90: конические точки 60°, 120°, 180° 5/6 cone point 6 + 2/3 cone point 3 + 1/2 cone point 2 = 25/6 центр вращения 6 + 2/3 центр вращения 3 + 1/2 центр вращения 2 = 2 60° rotation at a 6-fold centreповорот на 60° вокруг центра 6-го порядка 120° rotation at a nearest 3-fold centreповорот на 120° вокруг ближайшего центра 3-го порядка *632p6m↗ 5/121/31/4 2 30-60-90 triangleтреугольник 30-60-90mirror edges, corners 30°, 60°, 90°зеркальные края, углы 30°, 60°, 90° 1 mirror + 5/12 corner 6 + 1/3 corner 3 + 1/4 corner 2 = 21 зеркало + 5/12 угол 6 + 1/3 угол 3 + 1/4 угол 2 = 2 60° rotation at a 6-fold centreповорот на 60° вокруг центра 6-го порядка mirror halfway to the next 6-fold centreзеркало посередине до следующего центра 6-го порядка o handle (wonder)o ручка (wonder)3D: the dark grey torusв 3D: тёмно-серый тор2 * mirror boundary* зеркальная граница3D: a grey metal rimв 3D: серый металлический край1 × cross-cap (miracle)× плёнка Мёбиуса (miracle)3D: an orange surfaceв 3D: оранжевая поверхность1 n before *: cone point (gyration)n до *: центр вращения3D: a green badge with nв 3D: зелёный значок с n(n−1)/n n after *: cornern после *: угол3D: a peach badge with n, on a rimв 3D: персиковый значок с n на краю(n−1)/2n How the surfaces are drawnКак нарисованы поверхности Double a rectangle or a triangle and stuff it, and you have a pillow whose corners are cone points: 2222, 333, 442, 632. Cut a pillow along its seam and one flat face is left, its edges now mirrors: the kaleidoscopes *2222, *333, *442, *632. Cut it instead along a mirror line of the polygon and you get half a pillow, a pouch whose open mouth is the mirror: 22*, 2*22, 4*2, 3*3.Удвойте прямоугольник или треугольник и набейте его — получится подушка, углы которой — конические точки: 2222, 333, 442, 632. Разрежьте подушку по шву — останется одна плоская грань, края которой теперь зеркала: калейдоскопы *2222, *333, *442, *632. Разрежьте её вместо этого по оси симметрии многоугольника — получится половина подушки, мешочек, чьё открытое устье и есть зеркало: 22*, 2*22, 4*2, 3*3. The other five are the torus o, the annulus **, the Möbius band *×, and two surfaces that cannot sit in space without passing through themselves: the Klein bottle ×× and the cross-cap 22×. Everything is bent so you can see it; the orbifolds themselves are flat.Остальные пять — тор o, кольцо **, лента Мёбиуса *× и две поверхности, которые не помещаются в пространстве, не проходя сквозь себя: бутылка Клейна ×× и скрещённый колпак 22×. Всё изогнуто, чтобы было видно; сами орбифолды плоские. SourcesИсточники The prices and the 17: J. H. Conway, H. Burgiel, C. Goodman-Strauss, The Symmetries of Things (2008), chapter 6; J. H. Conway, D. H. Huson, “The orbifold notation for two-dimensional groups”, Structural Chemistry 13 (2002).Цены и семнадцать групп: J. H. Conway, H. Burgiel, C. Goodman-Strauss, The Symmetries of Things (2008), глава 6; J. H. Conway, D. H. Huson, «The orbifold notation for two-dimensional groups», Structural Chemistry 13 (2002). Generators needed: Wallpaper groups by generators, where they were counted. The lists are its sets, except three that trade the translation for a motion with a symbol, the same group either way: *× takes a glide, 2*22 a 180° rotation, 632 a 120° rotation.Нужно образующих: Wallpaper groups by generators, где они подсчитаны. Списки — её наборы, кроме трёх, где перенос заменён движением со своим символом, а группа та же: в *× скользящее отражение, в 2*22 поворот на 180°, в 632 поворот на 120°. Symbols: the plane-group diagrams of the International Tables for Crystallography, vol. A, ch. 2.1. The Tables draw no symbol for a translation; the arrow is this page's.Символы: диаграммы плоских групп из International Tables for Crystallography, т. A, гл. 2.1. Символа для переноса там нет; стрелка — наша. Each group's page: the clockwork/colouring correspondence on the Spacetime Groups site.Страница каждой группы: соответствие clockwork/colouring на сайте Spacetime Groups. The same prices on the sphere, where every group spends less than 2: Symmetries of the Sphere in Orbifold Notation.Те же цены на сфере, где каждая группа тратит меньше 2: Symmetries of the Sphere in Orbifold Notation. ↗ × Drag to turn it any way.Потяните, чтобы повернуть как
