ENRU Magic theorem showcaseВитрина магической теоремы The 17 wallpaper groups as their orbifolds, each costing exactly 2 by Conway's magic theorem. Hover over, tab to or tap a surface to unroll it into its flat pattern, with every rotation, mirror and glide, and the generators that build it.17 групп орнаментов в виде их орбифолдов, каждый стоит ровно 2 по магической теореме Конвея. Наведите курсор, перейдите клавишей Tab или нажмите на поверхность, чтобы развернуть её в плоский узор со всеми поворотами, зеркалами и скользящими отражениями и с образующими, которые его строят. Builds on 17 groups using magic theorem and Describing a wallpaper group by its generators. Part of the Animated Groups Fable Hub.Продолжение страниц 17 groups using magic theorem и Describing a wallpaper group by its generators. Входит в Animated Groups Fable Hub. The seventeen orbifoldsСемнадцать орбифолдов Under each surface, its cost, 2 in all:Под каждой поверхностью — её цена, всего 2: handle 2ручка 2 mirror 1зеркало 1 cross-cap 1плёнка Мёбиуса 1 cone point (n−1)/nконическая точка (n−1)/n corner (n−1)/2nугол (n−1)/2n op1 torusтор 2 = 2 o·p1↗·torusтор × a handle: the whole surface is one torusручка: вся поверхность — один тор 2 handle = 22 ручка = 2 Generators (2)Образующие (2) atranslation along a cell edgeперенос вдоль стороны ячейки btranslation along the other edgeперенос вдоль другой стороны Glue the shaded region's edges in the pairs the translations match, none of them flipped: it closes up into the torus on the card.Склейте края закрашенной области парами, как их сопоставляют переносы, ни одну не переворачивая: она замкнётся в тор с карточки. 2222p2 pillowcaseнаволочка 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2 2222·p2↗·pillowcaseнаволочка × a rectangle doubled: four 180° cone pointsудвоенный прямоугольник: четыре конические точки по 180° 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 = 21/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 = 2 Generators (3)Образующие (3) a180° rotation at a cell cornerповорот на 180° вокруг вершины ячейки b180° rotation halfway along one edge from itповорот на 180° вокруг середины стороны из неё c180° rotation halfway along the other edgeповорот на 180° вокруг середины другой стороны The shaded region is the pillow's two faces: fold one onto the other along the edge they share, sew each edge to the edge it now lies on (the small arrows pair them), and you have the pillow on the card, its corners the cone points.Закрашенная область — две грани подушки: сложите их по общему краю, сшейте каждый край с тем, на который он лёг (маленькие стрелки отмечают пары), — получится подушка с карточки, а её углы станут коническими точками. **pm annulusкольцо 1 + 1 = 2 **·pm↗·annulusкольцо × a cylinder whose two rims are mirrorsцилиндр, оба края которого — зеркала 1 mirror + 1 mirror = 21 зеркало + 1 зеркало = 2 Generators (3)Образующие (3) amirrorзеркало bmirror next to itзеркало, соседнее с ним ctranslation along them, the shortestперенос вдоль них, кратчайший Mirrors bound the shaded strip on two sides; glue its two ends the same way round and it closes up into the annulus on the card, its rims the mirrors.Закрашенную полосу с двух сторон ограничивают зеркала; склейте её концы без переворота — получится кольцо с карточки, края которого — зеркала. ××pg Klein bottleбутылка Клейна 1 + 1 = 2 ××·pg↗·Klein bottleбутылка Клейна × two cross-caps; in space it passes through itselfдве плёнки Мёбиуса; в пространстве проходит сквозь себя 1 cross-cap + 1 cross-cap = 21 плёнка Мёбиуса + 1 плёнка Мёбиуса = 2 Generators (2)Образующие (2) aglide, the shortest on its lineскользящее отражение, кратчайшее на своей оси bglide, the shortest on the next parallel lineскользящее отражение, кратчайшее на соседней параллельной оси Glue the shaded region's edges in the pairs the group matches: a glide glues one pair with a flip and a translation glues the other the same way round, so it closes up into the Klein bottle on the card.Склейте края закрашенной области парами, как их сопоставляет группа: скользящее отражение склеивает одну пару с переворотом, а перенос — другую без переворота, и область замкнётся в бутылку Клейна с карточки. *×cm Möbius bandлента Мёбиуса 1 + 1 = 2 *×·cm↗·Möbius bandлента Мёбиуса × its one edge is a mirrorеё единственный край — зеркало 1 mirror + 1 cross-cap = 21 зеркало + 1 плёнка Мёбиуса = 2 Generators (2)Образующие (2) amirrorзеркало bglide, the shortest on the next parallel lineскользящее отражение, кратчайшее на соседней параллельной оси Glue the shaded region's free edges in the pairs the group matches: the glide glues with a flip, so it closes up into the Möbius band on the card, whose one edge is the mirror.Склейте свободные края закрашенной области парами, как их сопоставляет группа: скользящее отражение склеивает с переворотом, и получится лента Мёбиуса с карточки, единственный край которой — зеркало. *2222pmm rectangleпрямоугольник 1 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 2 *2222·pmm↗·rectangleпрямоугольник × mirror edges, four 90° cornersзеркальные края, четыре угла по 90° 1 mirror + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 = 21 зеркало + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 = 2 Generators (4)Образующие (4) amirror on the rectangle's left sideзеркало на левой стороне прямоугольника bmirror on its right sideзеркало на правой стороне cmirror on its top sideзеркало на верхней стороне dmirror on its bottom sideзеркало на нижней стороне Every edge of the shaded region is a mirror, so nothing is glued: the region itself is the flat surface on the card, its corners the corner badges.Каждый край закрашенной области — зеркало, поэтому склеивать нечего: сама область и есть плоская поверхность с карточки, а её углы — угловые значки. 22*pmg half a pillowcaseполовина наволочки 1/2 + 1/2 + 1 = 2 22*·pmg↗·half a pillowcaseполовина наволочки × a pouch whose mouth is a mirror; two 180° cone pointsмешочек с зеркальным устьем; две конические точки по 180° 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1 mirror = 21/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 + 1 зеркало = 2 Generators (3)Образующие (3) amirrorзеркало b180° rotation at a 2-fold centre nearest itповорот на 180° вокруг ближайшего к нему центра 2-го порядка c180° rotation at the next centre parallel to itповорот на 180° вокруг следующего центра параллельно ему The shaded region is the half pillow's two faces: fold them together, sew up the edges that meet at the cone points, and leave the edge on the mirror open: it is the mirror mouth of the half pillow on the card.Закрашенная область — две грани половины подушки: сложите их, сшейте края, сходящиеся в конических точках, а край на зеркале оставьте открытым — это зеркальное устье половины подушки с карточки. 22×pgg cross-capскрещённый колпак 1/2 + 1/2 + 1 = 2 22×·pgg↗·cross-capскрещённый колпак × a projective plane with two 180° cone points; it passes through itselfпроективная плоскость с двумя коническими точками по 180°; проходит сквозь себя 1/2 cone point 2 + 1/2 cone point 2 + 1 cross-cap = 21/2 коническая точка 2 + 1/2 коническая точка 2 + 1 плёнка Мёбиуса = 2 Generators (2)Образующие (2) aglide, the shortest on its lineскользящее отражение, кратчайшее на своей оси bglide, the shortest on a perpendicular lineскользящее отражение, кратчайшее на перпендикулярной оси Glue the shaded region's edges in the pairs the group matches: the two half-turn centres become the cone points and the glides glue both pairs with a flip, closing it up into the cross-cap on the card.Склейте края закрашенной области парами, как их сопоставляет группа: два центра полуоборота станут коническими точками, а скользящие отражения склеят обе пары краёв с переворотом, замкнув её в скрещённый колпак с карточки. 2*22cmm half a square pillowполовина квадратной подушки 1/2 + 1 + 1/4 + 1/4 = 2 2*22·cmm↗·half a square pillowполовина квадратной подушки × cut corner to corner: a mirror mouth with two 90° corners, one 180° cone pointразрезана по диагонали: зеркальное устье с двумя углами по 90°, коническая точка 180° 1/2 cone point 2 + 1 mirror + 1/4 corner 2 + 1/4 corner 2 = 21/2 коническая точка 2 + 1 зеркало + 1/4 угол 2 + 1/4 угол 2 = 2 Generators (3)Образующие (3) amirrorзеркало bmirror crossing itзеркало, пересекающее его c180° rotation at a nearest 2-fold centre off the mirrorsповорот на 180° вокруг ближайшего центра 2-го порядка вне зеркал The shaded region is the half pillow's two faces: fold them together, sew up the edges that meet at the cone points, and leave the edge on the mirror open: it is the mirror mouth of the half pillow on the card.Закрашенная область — две грани половины подушки: сложите их, сшейте края, сходящиеся в конических точках, а край на зеркале оставьте открытым — это зеркальное устье половины подушки с карточки. 442p4 triangular pillowтреугольная подушка 3/4 + 3/4 + 1/2 = 2 442·p4↗·triangular pillowтреугольная подушка × a 45-45-90 triangle doubled: cone points 90°, 90°, 180°удвоенный треугольник 45-45-90: конические точки 90°, 90°, 180° 3/4 cone point 4 + 3/4 cone point 4 + 1/2 cone point 2 = 23/4 коническая точка 4 + 3/4 коническая точка 4 + 1/2 коническая точка 2 = 2 Generators (2)Образующие (2) a90° rotation at a 4-fold centreповорот на 90° вокруг центра 4-го порядка b180° rotation at a nearest 2-fold centreповорот на 180° вокруг ближайшего центра 2-го порядка The shaded region is the pillow's two faces: fold one onto the other along the edge they share, sew each edge to the edge it now lies on (the small arrows pair them), and you have the pillow on the card, its corners the cone points.Закрашенная область — две грани подушки: сложите их по общему краю, сшейте каждый край с тем, на который он лёг (маленькие стрелки отмечают пары), — получится подушка с карточки, а её углы станут коническими точками. *442p4m 45-45-90 triangleтреугольник 45-45-90 1 + 3/8 + 3/8 + 1/4 = 2 *442·p4m↗·45-45-90 triangleтреугольник 45-45-90 × mirror edges, corners 45°, 45°, 90°зеркальные края, углы 45°, 45°, 90° 1 mirror + 3/8 corner 4 + 3/8 corner 4 + 1/4 corner 2 = 21 зеркало + 3/8 угол 4 + 3/8 угол 4 + 1/4 угол 2 = 2 Generators (3)Образующие (3) amirror on one leg of the triangleзеркало на одном катете треугольника bmirror on the other legзеркало на другом катете cmirror on the hypotenuseзеркало на гипотенузе Every edge of the shaded region is a mirror, so nothing is glued: the region itself is the flat surface on the card, its corners the corner badges.Каждый край закрашенной области — зеркало, поэтому склеивать нечего: сама область и есть плоская поверхность с карточки, а её углы — угловые значки. 4*2p4g half the 442 pillowполовина подушки 442 3/4 + 1 + 1/4 = 2 4*2·p4g↗·half the 442 pillowполовина подушки 442 × a mirror mouth with one 90° corner; one 90° cone pointзеркальное устье с одним углом 90°; коническая точка 90° 3/4 cone point 4 + 1 mirror + 1/4 corner 2 = 23/4 коническая точка 4 + 1 зеркало + 1/4 угол 2 = 2 Generators (2)Образующие (2) a90° rotation at a 4-fold centreповорот на 90° вокруг центра 4-го порядка bmirror nearest itзеркало, ближайшее к нему The shaded region is the half pillow's two faces: fold them together, sew up the edges that meet at the cone points, and leave the edge on the mirror open: it is the mirror mouth of the half pillow on the card.Закрашенная область — две грани половины подушки: сложите их, сшейте края, сходящиеся в конических точках, а край на зеркале оставьте открытым — это зеркальное устье половины подушки с карточки. 333p3 triangular pillowтреугольная подушка 2/3 + 2/3 + 2/3 = 2 333·p3↗·triangular pillowтреугольная подушка × an equilateral triangle doubled: three 120° cone pointsудвоенный равносторонний треугольник: три конические точки по 120° 2/3 cone point 3 + 2/3 cone point 3 + 2/3 cone point 3 = 22/3 коническая точка 3 + 2/3 коническая точка 3 + 2/3 коническая точка 3 = 2 Generators (2)Образующие (2) a120° rotation at a
